Izbrane teme sodobne fizike in matematike
Članek obravnava izboljšavo D’Alembertovega kvocientnega kriterija, ki je temeljni kriterij za določanje konvergence oziroma divergence številskih vrst s pozitivnimi členi. Medtem ko osnovni kvocientni kriterij pogosto odpove, razširjene različice, tako imenovani kvocientni kriteriji višjih redov, ponujajo bolj natančen pristop. V prispevku je predstavljen kvocientni kriterij drugega reda, ki se izkaže kot učinkovitejši pri analizi primerov, kot je bigeometrijska vrsta. Poleg tega je podana tudi posplošitev na \(m\)-ti kvocientni kriterij in primerjava z obstoječimi kriteriji, kot sta Raabejev in Cauchyjev korenski kriterij. Rezultati kažejo, da je kvocientni kriterij višjega reda močnejše orodje pri analizi konvergence številskih vrst v matematični analizi.
This article explores an improvement of D’Alembert’s ratio test, a fundamental criterion for determining the convergence or divergence of positive term series. Since the standard ratio test does not always give conclusive results, this work introduces an alternative approach using higher-order ratio tests. The second-order ratio test is presented and applied to examples such as the bi-geometric series to illustrate its effectiveness. Furthermore, the concept is extended to the \(m\)-th order ratio test and compared with other known convergence tests, including Raabe’s test and Cauchy’s root test. The findings indicate that higher-order ratio tests provide a more powerful method for analyzing the convergence of series in mathematical analysis.